boboto tutorial teorema
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Boboto presenta il tutorial di utilizzo del materiale del Teorema di Pitagora. Potete trovare tutto il materiale nel nostro catalogo #MONTESSORI3D 2017 e acquistarlo scrivendo una mail a Questo indirizzo email è protetto dagli spambots. È necessario abilitare JavaScript per vederlo..

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori utilizzando le tre tavole.

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Il materiale per il teorema di Pitagora è composto da 3 tavole con pezzi ad incastro blu, rossi, gialli e bianchi.

Le tre tavole rappresentano tre casi del teorema:
– primo caso (TAVOLA I): i due cateti sono uguali
– secondo caso (TAVOLA II): i due cateti stanno in proporzione 3:4 tra loro
– terzo caso (TAVOLA III): caso generale (la dimostrazione Euclidea).
La tavola 1 serve ad una dimostrazione del teorema a livello principalmente sensoriale.

Teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I
I due cateti sono uguali

Per la prima dimostrazione abbiamo una cornice che corrisponde a uno spazio complesso, cioè:
– un triangolo rettangolo isoscele bianco
– lo spazio corrispondente ai quadrati costruiti sui tre lati:

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Nel centro è collocato il triangolo bianco. Il resto del materiale è costituito dal quadrato diviso in otto triangoli a mezzo delle due diagonali e delle due mediane
La dimostrazione del primo caso è estremamente intuitiva. In questo incastro:
– i due quadrati dei cateti sono divisi per mezzo della diagonale in due triangoli
– il quadrato dell’ipotenusa è diviso in quattro triangoli per mezzo di due diagonali.

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Gli otto triangoli sono tutti uguali tra loro, quindi:
– i triangoli dei due cateti possono entrare nel quadrato dell’ipotenusa
– i quattro triangoli dell’ipotenusa possono riempire i due quadrati dei cateti.
Gli spostamenti sono molto divertenti, anche perchè i triangoli dei due cateti hanno lo stesso colore, mentre i quattro triangoli dell’ipotenusa hanno un colore diverso.
E’ facile vedere che i triangoli gialli e gli altri blu, fanno tra loro un quadrato col lato uguale al cateto di quello posto nel centro della cornice.
Gli altri 4 triangoli rossi, disposti in modo che i vertici siano tutti uniti al centro e le ipotenuse al di fuori, formano un quadrato, il cui lato corrisponde all’ipotenusa del triangolo che sta nella cornice.
Così gli 8 triangoli si possono collocare nella cornice riempendo tutto lo spazio, e dimostrando questo primo caso del teorema di Pitagora.
Con questa dimostrazione siamo partiti da un fatto noto, cioè il teorema di Pitagora, e da una cornice vuota che lo rappresenta; e abbiamo dimostrato il teorema riempiendo i vuoti della cornice.

Mostriamo il materiale dicendo:
– “Le figure a destra della tavola mostrano i quadrati dei due lati del triangolo rettangolo isoscele, divisi a metà dalla linea diagonale, così da formare 2 triangoli interni per ogni quadrato, uno giallo e uno blu”
– “Il quadrato dell’ipotenusa è diviso da due linee diagonali , così da formare 4 triangoli interni rossi”
– “Gli 8 triangoli totali (2 gialli, 2 blu e 4 rossi) sono tutti identici, quindi con i triangoli gialli e blu dei quadrati dei cateti possiamo riempire lo spazio occupato dai 4 triangoli rossi del quadrato dell’ipotenusa”
– “Viceversa possiamo usare i 4 triangoli rossi per occupare lo spazio dei quadrati blu e giallo dei cateti”.
La sostituzione di questi differenti pezzi mobili è molto interessante, anche perchè presentano colori differenti. L’esercizio inoltre ricorda gli esercizi di equivalenza fatti con gli incastri delle frazioni.

TAVOLA I – Presentazione 2
Introduzione:
– diamo ai bambini qualche semplice informazione su Pitagora, dicendo che fu un grande matematico dell’Antica Grecia, nato nell’isola di Samo nel 500 aC. Egli fondò la sua scuola a Crotone (Italia meridionale), che era allora parte della Magna Grecia
– troviamo Pitagora nella linea del tempo.
Questa breve introduzione è molto utile perchè richiama il nome del materiale, cioè la tavola del teorema di Pitagora; inoltre il collegamento con la storia fa sentire ed apprezzare ai bambini il proprio legame con gli uomini del passato.

Presentazione:
Primo passaggio: sostituzione dei pezzi:
– iniziamo con la tavola contenente tutti i pezzi già disposti nel modo corretto per dare una prima forte impressione
– togliamo tutti i pezzi dal primo schema

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– prendiamo i pezzi dell’altro schema e mettiamoli nelle cornici del primo, cioè muoviamo i pezzi da un lato all’altro

Secondo passaggio:
– dallo schema nel quale i quadrati sono divisi dalle diagonali formando i triangoli colorati, togliamo i triangoli gialli e quelli blu. Chiediamo a un bambino di riempire i due quadrati dello schema a sinistra utilizzando i quattro triangoli rosso che formano il quadrato grande

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– i triangoli rossi che erano sull’ipotenusa del triangolo bianco sono stati distribuiti in due quadrati posati sugli altri due lati (cateti) del triangolo biancoboboto teorema 6

– ora con i triangoli blu e gialli riempiamo lo spazio lasciato libero dai triangoli rossi: tutto ciò che era costruito sui cateti ora si trova sull’ipotenusa.

Applicazione del teorema:
– la somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.

Note:
– i triangoli dello schema sono tutti triangoli isosceli.

Scopo diretto:
– introduzione sensoriale al materiale
– preparazione per gli incastri seguenti

Età:
– dagli 8 anni.


TAVOLA II
i due cateti sono in proporzione 3:4

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Nell’incastro i tre quadrati sono riempiti con quadratini di tre diversi colori. Il loro numero è:
– nel quadrato del cateto minore 3² = 9
– nel quadrato del cateto maggiore 4² = 16
– nel quadrato dell’ipotenusa 5² = 25.
In questo caso speciale calcolando le lunghezze dei lati per se stesse, si ha il numero di quadrati che riempiono le superfici, cioè:
3 x 3 = 9 quadrati
4 x 4 = 12 quadrati
5 x 5 = 25 quadrati
e quindi 25 = 16 + 9.
Siccome i quadratini relativi al quadrato di ogni lato sono di colore diverso, si possono disporre a disegni vari i quadratini corrispondenti ai due cateti, nel quadrato dell’ipotenusa. Allora gli spazi relativi ai quadrati dei due cateti restano riempiti coi quadratini relativi all’ipotenusa, e rimangono di colore uguale i quadrati dei cateti.

Tavola II – Presentazione 1
Il gioco degli spostamenti è evidente:
– i due quadrati dei cateti possono essere riempiti completamente con i quadratini dell’ipotenusa, diventando dello stesso colore
– il quadrato dell’ipotenusa può essere composto in due colori creando bei disegni.
Così rimane materialmente ed esteticamente dimostrata la relazione pitagorica cambiando i quadratini mobili negli spazi della cornice che si trova nel materiale.

Tavola II – Presentazione 2
Materiale:
– tavola del teorema di Pitagora II

Presentazione:
– rimuoviamo dalla tavola il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?” E’ un triangolo rettangolo scaleno
– diciamo: “Questa è un’altra dimostrazione della teoria di Pitagora”.
– diciamo: “In questa tavola i quadrati sono divisi in quadratini tutti uguali. Possiamo usarla per verificare che la somma dei quadrati dei lati è uguale al quadrato dell’ipotenusa. ”
– chiediamo l’aiuto dei bambini per inserire tutti i quadratini blu e gialli nella cornice quadrato grande e i quadratini rossi nelle cornici dei quadrati medio e piccolo
– chiediamo ai bambini cos’hanno scoperto e chiediamo se quello che abbiamo fatto con i quadratini colorati può essere scritto
– facciamolo insieme:

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– dopo essersi esercitati con la tavola i bambini possono risolvere problemi detti a voce, ad esempio possiamo dare la misura dell’ipotenusa e di un lato di un triangolo, e i bambini devono trovare la lunghezza dell’altro lato.

Nota:
Si tratta della terna pitagorica. Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali a, b, c tali che a2 + b2 = c2. Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

 

TAVOLA III
Caso generale

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In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Il materiale che serve a questa dimostrazione Il terzo incastro è di difficile descrizione e si presta a un notevole esercizio intellettuale.
Il materiale originale prevedeva una tavola 44 x 24 cm, con quattro incavi rettangolari ai due lati e al centro la cornice che, per la sua determinazione di forma, presenta appunto un teorema già stabilito, che bisogna dimostrare.
I pezzi mobili possono formare varie combinazioni per dimostrare vari principi del teorema, e cioè:
– due quadrilateri aventi base uguale e altezza uguale sono equivalenti
– due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro.
Occorre dimostrare che la somma dei due rettangoli equivale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. La dimostrazione materiale si fa con lo spostamento delle figure.

Nell’incastro in posizione normale:
– il quadrato dell’ipotenusa è diviso in due rettangoli
– il secondo lato è determinato dalle divisioni dell’ipotenusa, su cui cade l’altezza del triangolo abbassata dal vertice opposto.
Nel materiale troviamo anche due romboidi che presentano:
– un lato uguale al lato del quadrato piccolo
– un lato uguale al lato del quadrato grande
– un lato uguale all’ipotenusa.
L’altezza minore dei due romboidi corrisponde all’altezza (o lato minore) dei rettangoli.

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L’altezza maggiore corrisponde ai lati dei quadrati dei cateti:

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Non è necessario che il bambino conosca già tutte queste corrispondenze dimensionali: vedrà dei pezzi a incastro rossi blu e gialli, e semplicemente li sposterà inserendoli negli incavi della tavola.
A far ragionare il bambino sul teorema è il suo agire materialmente inserendo i pezzi mobili sui fondi della tavola, e non la conoscenza astratta delle corrispondenze dimensionali dei lati e delle altezze delle figure geometriche.
In questo modo l’esercizio diventa molto semplice e interessante, e il materiale si presta dare diverse dimostrazioni.

TAVOLA III – Presentazione 1
– Partiamo dall’incastro riempito normalmente
– togliamo prima i due rettangoli dell’ipotenusa e mettiamoli nei lunghi incavi laterali della tavola
– facciamo scorrere verso il basso il triangolo bianco fino a che l’ipotenusa tocca il lato inferiore del quadrato. Rimane vuoto, al di sopra del triangolo, uno spazio che evidentemente equivale al quadrato. Questo spazio vuoto equivale evidentemente al quadrato. Esso ha la forma di uno strano poligono a sei lati, però prolungando la linea corrispondente all’altezza del triangolo, subito si capisce che lo spazio si può dividere in due romboidi, uno maggiore e uno minore.
– riempiamo lo spazio rimasto coi due romboidi giallo e blu: le due figure riempiono perfettamente lo spazio

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Vediamo così che è sempre lo stesso spazio riempito:
– prima con 1 triangolo + 2 rettangoli
– poi con 1 triangolo + 2 romboidi.
Questo dimostra che la somma dei due rettangoli (quadrato dell’ipotenusa) è equivalente alla somma dei due romboidi.

TAVOLA III – Presentazione 2

Consideriamo poi i romboidi invece dei rettangoli, per dimostrare la loro equivalenza coi due quadrati sui cateti:
– cominciamo dal quadrato maggiore e partiamo dall’incastro in posizione normale
– consideriamo lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato maggiore: per farlo togliamo i pezzi e vuotiamolo
– riempiamo lo spazio vuotato con il triangolo e il quadrato grande in posizione normale
– ora togliamo il quadrato del cateto maggiore (giallo)
– facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto maggiore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto maggiore
– è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto maggiore del triangolo
– inseriamo nello spazio il romboide grande giallo:

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– allo stesso modo possiamo considerare anche lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato minore: per farlo togliamo prima il quadrato del cateto minore
– facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto minore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto minore
– è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto minore del triangolo
– inseriamo nello spazio il romboide piccolo blu:

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TAVOLA III – Presentazione 3
Con queste attività vogliamo dimostrare le equivalenze tra i romboidi e i rettangoli e tra i romboidi e i quadrati, utilizzando gli incavi lunghi che si trovano ai lati della tavola. Questi incavi dimostrano che i pezzi hanno la stessa altezza.
– Partiamo dall’incastro in posizione normale
– togliamo i due rettangoli che insieme riempiono uno spazio uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa e mettiamoli insieme con i rombi negli incavi di sinistra (i maggiori nell’incavo più largo e i minori in quello più stretto):

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Vediamo come le figure incastrate hanno uguale altezza. Basterà poi far combaciare i pezzi secondo la base per verificare l’uguaglianza: dunque le figure sono a due a due equivalenti.
Torniamo poi nella disposizione normale dell’incastro e procediamo allo stesso modo con i quadrati:

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Negli spazi paralleli di destra si possono disporre il quadrato grande in fila col romboide grande, disposto però in un altro senso (cioè il senso dell’altezza maggiore).
Allo stesso modo si possono mettere nell’incavo minore di destra il quadrato piccolo e il romboide piccolo: quadrato e romboide hanno la stessa altezza e affiancandoli possiamo verificare che hanno base uguale. Dunque i quadrati e i romboidi sono equivalenti.
I rettangoli e i quadrati, equivalenti ai romboidi, sono perciò equivalenti tra loro.
Il teorema risulta dimostrato.

Scopo:
– comprendere il teorema
– risolvere problemi in modo pratico (dopo i 10 anni)

Età:
– a livello sensoriale, dopo aver presentato le altre due tavole del teorema di Pitagora (8 anni)
– per applicazioni a problemi geometrici a partire dai 10 anni.

Tutorial tratto da Lapappadolce.net e realizzato con i materiali del progetto #MONTESSORI3D di Boboto.